Хаусдорфово пространство

Тип статьи:	Регулярная статья

Хаусдорфовыми пространствами называются топологические пространства, удовлетворяющие сильной аксиоме отделимости. Названы в честь Ф. Хаусдорфа, одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью. Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

200px

Топологическое пространство <math>X</math> называется хаусдорфовым, если любые две различных точки <math>x</math>, <math>y</math> из <math>X</math> обладают непересекающимися окрестностями <math>U(x)</math>, <math>V(y)</math>.

Примеры и контрпримеры

• Хаусдорфовы
  • Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности:
    • евклидовы пространства <math>\R^n</math>
    • многообразия
    • большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких как <math>L^p\ </math> или <math>W^{1,\;p}</math>, <math>p\geqslant 1\ </math>.
  • По определению, топологические группы являются хаусдорфовыми.
• Нехаусдорфовы
  • Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии.
  • Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.
  • Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга.

Свойства

• Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
• Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали <math>\Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}</math> в декартовом квадрате <math>X\times X</math> пространства <math>X</math>.
• В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
• Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
• Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.

ar:فضاء هاوسدورف ca:Espai de Hausdorff cs:Hausdorffův prostor cv:Хаусдорф уçлăхĕ da:Hausdorffrumet:Hausdorffi ruum fa:فضای هاسدورف fi:Hausdorffin avaruusja:ハウスドルフ空間 ko:하우스도르프 공간 mn:Хаусдорфын огторгуй nl:Hausdorff-ruimte pl:Przestrzeń Hausdorffa pt:Espaço de Hausdorff sk:Hausdorffov priestor sv:Hausdorffrum tr:Hausdorff uzayzh:豪斯多夫空间

Уведомление: Предварительной основой данной статьи была аналогичная статья в http://ru.wikipedia.org, на условиях CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, которая в дальнейшем изменялась, исправлялась и редактировалась.