Объявление: Тур-мидраш-2017: Испания, Португалия, Гибралтар с 13 по 21 июня:
Днем – экскурсии с Яаковом Луфтом,
по вечерам уроки и дискуссии с Пинхасом и Нехамой Полонскими

Маршрут: Мадрид-Саламанка-Гарда-Порту-Коимбра-Лиссабон-Бельмонте-Каштело_де_Виде-Севилья-Гибралтар-Кадис-Кордова-Гранада-Толедо-Мадрид. Итого 9 дней, полный кошерный пансион с шеф-поваром, €1490 с человека, включая всё (кроме полета). Те, кто хочет участвовать напишите Пинхасу Полонскому на ppolonsky@gmail.com
-----------------------------

Лемма Шура

Материал из ЕЖЕВИКИ - EJWiki.org - Академической Вики-энциклопедии по еврейским и израильским темам
Перейти к: навигация, поиск
Тип статьи: Регулярная статья

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы

Представление группы G автоморфизмами некоторого векторного пространства GL(V)   σ:G→GL(V) называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного подпространства V'Ì V (т.е. такого, что для всех элементов группы σgV'Ì V' ) и отличного от 0 и самого V.

Лемма Шура:Пусть f — линейное отображение векторных пространств f:V1V2 , над некоторым полем K такое, что существуют два неприводимых представления σ:G→GL(V1) и τ:G→GL(V1), такие, что τgf=fσg для всех g . Тогда:

1)Если f не является изоморфизмом, то f — нулевое отображение.

2)Если V1=V2 конечномерны над алгебраически замкнутым полем K и σ=τ, то f является умножением на некоторый элемент поля f:x→λx.

Доказательство

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть E и F модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм f:E→F является либо нулевым, либо изоморфизмом на F.

В самом деле, так как Ker f и Im f являются подмодулями, то если f ненулевой гомоморфизм, имеем Ker f=0, а Im f=F, то есть f — изоморфизм на весь модуль F.

Теперь определим групповое кольцо K[G]. Элементами этого кольца будут линейные комбинации k1g1+k2g2+...kngn. Умножение определяется (k1g1)(k2g2)=(k1k2)(g1g2) и далее по линейности. Ясно, что K[G] кольцо. На пространстве V1 определим умножение элемента из K[G] на элемент xÎ V1: (k1g1+k2g2+...kngn)x=k1σg1x+k2σg2x+...knσgnx. Тем самым мы превращаем V1 в модуль над кольцом K[G]. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. σ является представлением. V2 аналогично, заменяя σ на τ, будет модулем над K[G], а равенство τgf=fσg то, что отображение f является гомоморфизмом модулей. Так как V1 и V2 неприводимы, а это означает их простоту как модулей над K[G], то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного векторов x≠0 для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значениию λ, fx=λx. Имеем для любого элемента gÎ G σg(f-λid)=(f-λid)σg, причём для собственного вектора x≠ 0 f-λ·id=0. следовательно f-λ·id по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, f является умножением на некоторое λ.

Литература

  • Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп -М:, Мир, 1969zh:舒尔引理

zh-yue:Schur引理

Уведомление: Предварительной основой данной статьи была аналогичная статья в http://ru.wikipedia.org, на условиях CC-BY-SA, http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0, которая в дальнейшем изменялась, исправлялась и редактировалась.